Основная цель, поставленная Адмиралтейством перед третьей экспедицией Кука, — открытие так называемого Северо-Западного прохода — водного пути, пересекающего североамериканский континент и соединяющего Атлантический и Тихий океаны и Австралию.
Экспедиции, как и ранее, было выделено два корабля — флагманский «Резолюшн» (водоизмещение 462 тонны, 32 пушки), на котором Кук совершил второе путешествие, и «Дискавери» водоизмещением 350 тонн, имевший 26 пушек. Капитаном на «Резолюшн» был сам Кук, на «Дискавери» — Чарльз Клерк, участвовавший в первых двух экспедициях Кука. Джон Гор, Джеймс Кинг, Джон Уильямсон были на «Резолюшн» соответственно первым, вторым и третьим помощниками капитана. На «Дискавери» первым помощником был Джеймс Берни, вторым — Джон Рикмен.
Англию корабли покинули порознь: «Резолюшн» вышел из Плимута 12 июля 1776 года, «Дискавери» — 1 августа. По дороге в Кейптаун Кук посетил остров Тенерифе. В Кейптауне, куда Кук прибыл 17 октября, «Резолюшн» был поставлен на ремонт по причине неудовлетворительного состояния бортовой обшивки. «Дискавери», прибывший в Кейптаун 1 ноября, был также отремонтирован.
1 декабря корабли вышли из Кейптауна. 25 декабря был открыт остров Кергелен[источник не указан 989 дней]. 26 января 1777 года корабли подошли к Тасмании, где пополнили запасы воды и дров.
Из Новой Зеландии корабли отправились на Таити, однако из-за встречных ветров Кук был вынужден изменить курс и посетить сначала острова Дружбы. На Таити Кук прибыл 12 августа 1777 года.
7 декабря 1777 года корабли двинулись в Северное полушарие, экватор пересекли 22 декабря. Через два дня, 24 декабря, был открыт остров Рождества. Находясь на этом острове экспедиция наблюдала солнечное затмение.
18 января 1778 года были открыты Гавайские острова, названные Куком Сэндвичевыми островами по имени одного из лордов Адмиралтейства (это название не прижилось).
На Гавайях экспедиция пробыла до 2 февраля, восстанавливая силы и готовясь к плаванию в северных широтах, затем двинулась на северо-восток, к западному побережью Северной Америки. На этом пути корабли попали в шторм и получили частичные повреждения («Резолюшн», в частности, потерял бизань-мачту).
30 марта 1778 года корабли встали на ремонт в протяженном и узком заливе Нутка (англ: Nootka Sound), вдающемся со стороны Тихого океана в остров Ванкувер.
26 апреля, закончив ремонт, они вышли из залива Нутка и направились вдоль североамериканского побережья на север. У берегов Аляски, однако, снова пришлось сделать остановку для ремонта, так как «Резолюшн» сильно протекал.
В начале августа корабли прошли через Берингов пролив, пересекли Северный полярный круг и вошли в Чукотское море. Здесь они натолкнулись на сплошное ледяное поле. Продолжать дорогу на север было невозможно, приближалась зима, поэтому Кук развернул корабли, намереваясь провести зиму в более южных широтах.
2 октября 1778 года Кук достиг Алеутских островов, здесь он встретил русских промышленников, которые предоставили ему свою карту для изучения. Русская карта оказалась значительно полнее карты Кука, она содержала неизвестные Куку острова, а очертания многих земель, нанесённые у Кука только приблизительно, были отображены на ней с высокой степенью детализации и точности. Известно, что Кук перерисовал эту карту и назвал пролив, разделяющий Азию и Америку, именем Беринга.
24 октября 1778 года корабли покинули Алеутские острова и 26 ноября достигли Гавайских островов, однако подходящая стоянка для кораблей была найдена только 16 января 1779 года. Жители островов — гавайцы — сосредоточились вокруг кораблей в большом количестве; Кук в своих записях оценивал их число в несколько тысяч. Позднее стало известно, что высокий интерес и особенное отношение островитян к экспедиции объяснялись тем, что они приняли Кука за одного из своих богов. Хорошие отношения, установившиеся поначалу между членами экспедиции и гавайцами, начали, однако, быстро портиться; с каждым днем количество хищений, совершаемых гавайцами, возрастало, а стычки, возникавшие из-за попыток вернуть украденное, становились всё горячее.
Чувствуя, что обстановка накаляется, Кук 4 февраля покинул залив, однако начавшийся вскоре шторм нанёс серьёзный ущерб такелажу «Резолюшн» и 10 февраля корабли были вынуждены вернуться для ремонта (другой якорной стоянки поблизости не было). Паруса и части такелажа свезли на берег для ремонта. Отношение гавайцев к экспедиции стало тем временем откровенно враждебным. В округе появилось много вооруженных людей. Число краж увеличилось. 13 февраля с палубы «Резолюшн» были украдены клещи. Попытка их вернуть оказалась неудачной и закончилась открытым столкновением.
На следующий день, 14 февраля был украден баркас с «Резолюшн». Для того, чтобы вернуть украденное имущество, Кук решил взять на борт в качестве заложника Каланиопу, одного из местных вождей. Высадившись на берег с группой вооруженных людей, состоявшей из десяти морских пехотинцев во главе с лейтенантом Филипсом, он прошёл к жилищу вождя и пригласил его на корабль. Приняв предложение, Каланиопа последовал за англичанами, однако у самого берега отказался следовать дальше, предположительно поддавшись уговорам жены. Тем временем, на берегу собралось несколько тысяч гавайцев, которые окружили Кука и его людей, оттеснив их к самой воде. Среди них разнёсся слух, что англичане убили нескольких гавайцев (в дневниках капитана Клерка упомянут один туземец, убитый людьми лейтенанта Рикмена незадолго до описываемых событий), и эти слухи, а также не вполне однозначное поведение Кука, подтолкнули толпу к началу враждебных действий. В начавшейся схватке сам Кук и четверо матросов погибли, остальным удалось отступить на корабль. Есть несколько противоречивых свидетельств очевидцев тех событий, и по ним сложно судить о том, что же произошло на самом деле. С достаточной степенью достоверности можно лишь сказать, что среди англичан началась паника, команда стала беспорядочно отступать к шлюпкам, и в этой суматохе Кук был убит гавайцами (предположительно ударом копья в затылок).
Таким образом, вечером 14 февраля 1779 года капитан Джеймс Кук был убит жителями Гавайских островов. Капитан Клерк в своих дневниках подчёркивает: если бы Кук отказался от вызывающего поведения перед лицом многотысячной толпы и не начал расстреливать гавайцев[источник не указан 456 дней], несчастного случая удалось бы избежать. По словам лейтенанта Филипса гавайцы не собирались препятствовать возвращению англичан на корабль и тем более нападать, а многочисленность собравшейся толпы объяснялась их беспокойством за судьбу короля (небезосновательным, если иметь в виду ту цель, с которой Кук приглашал Каланиопу на корабль).
После смерти Кука должность начальника экспедиции перешла к капитану «Дискавери» Чарльзу Клерку. Клерк пытался добиться выдачи тела Кука мирным путем. Потерпев неудачу, он распорядился провести военную операцию, в ходе которой высадившийся под прикрытием пушек десант захватил и сжег дотла прибрежные поселения и отбросил гавайцев в горы. После этого гавайцы доставили на «Резолюшн» корзину с десятью фунтами мяса и человеческую голову без нижней челюсти. 22 февраля 1779 года останки Кука были захоронены в море. Капитан Клерк погиб от туберкулёза, которым был болен на протяжении всего плавания. В Англию корабли вернулись 7 октября 1780 года
Основная цель экспедиции — открытие Северо-Западного прохода — не была достигнута. Были открыты Гавайские острова, остров Рождества и некоторые другие острова.